数学模型十篇

今天给各位分享数学模型十篇的知识，其中也会对老师画出一条连接圆心到圆上任意一点的线段进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文导读目录：

1、数学模型十篇

　　数学模型篇1

关键词：高中生物 数学模型 函数模型

中图分类号：G63391文献标识码：A文章编号：1009-5349（2017）12-0149-01

一、 数学模型的概念和内涵

（一）概念

广义的理解：一切的数学公式、图表、数学符号、数学工具等都可以称为数学模型。狭义的理解：一些研究者认为数学模型是某一情景中，在数学方法原理的指导下，根据特定事物的内在规律，运用适当的数学工具对认识对象做出必要的简化假设，得到特定的数学关系，通过数学的求解从而达到解决实际问题的思想和方法。

（二）数学模型的内涵

（1） 具有原型。数学模型是摒弃了与原型无本质关系的结构而形成的，是对原型的简化和抽象，所以一个数学模型有与之相对应的原型，一个原型根据需要可以建立很多模型，而一个模型是根据在某一问题情境下对原型的一些不必要的性质删减然后抽象形成的，所以大多数情况下一个模型只能对应一个原型。

（2） 用一定的数学工具表示。数学思维的外显需要数学工具来呈现，所以数学工具是数学模型中不可或缺的元素。包括：表格、方程式、数学符号、几何图等。

（3）具有数学规律。数学模型是在实际问题中将研究对象的本质属性、规律、现象等转化为数学规律的结果，因此构建数学模型的前提是原型具有一定的数学规律。

二、数学模型的分类

生物中的数学模型目前没有统一的分类方法，根据模型应用的数学工具不同，一些学者将数学模型分为：数学归纳法、数字模型、比例模型、方程式模型、公式模型、线段模型、几何图模型、幂函数模型、概率计算模型、等式模型、排列组合模型、曲线模型和表格模型。

三、函数模型

如果有两个变量x，y，随着x的改变y也随之改，并且对于每一个x的值，y都有与之对应的唯一的值，那么就说y是x的函数。x叫做因变量，y叫做自变量，函数式记作y=f（x）。高中教材中一些描述生理变化或规律的曲线图，其实质是函数的图像。

（1）二次函数。图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。抛物线有最值，开口向下有最大值，开口向上有最小值，对称轴的两侧出现单调递增或单调递减。图1酶活性受温度影响示意图，以x轴表示温度，y轴表示酶的活性的坐标轴中，酶活性受温度影响的曲线可以看作二次函数。随着因变量温度低于或者高于最适温度都会影响自变量酶的活性，而且在一定范围内，随着温度越来越低（或越来越高），酶的活性也会越来越低。值得注意的是，在教学中应该注意随着温度升高到一定程度，酶会失去活性，即活性为0，而温度降低却不会使酶活性降为0。

图1酶活性受温度影响示意图（2）指数函数。以指数为自变量，底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数。在生物学中，指数函数大多用于种群繁殖的数量变化，因此应表达为y=ax（a>1）。以“在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min繁殖一代”为例：细菌繁殖 n代的数量为Nn=2n。由这个表达式可以将该细菌的数量增长看做是指数函数。除此之外“J”型曲线Nt=N0λt也是指数函数。

（3）正比例函数。两个变量x、y之间的关系式可以表示成如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0）。在生物学中的k值一般都是取大于0，图像才有意义。物质的运输方式：自由扩散 表示随着自变量物质浓度的增加，因变量运输的速率也随之增加，他们之间的关系是正相关的。

数学模型篇2

关键字：预测模型

一．时间序列分析法

（一）原理

ARMA模型被广泛的应用于时间序列的分析和预测。ARMA（p，q）模型中包括了p自回归项和q滑动平均项，它是自回归模型（AR模型）和滑动平均模型（MA模型）的一般形式，下面就分别介绍AR模型，MA模型和ARMA模型。

(1)自回归AR（P）模型

AR模型即自回归模型，满足： 其中 是模型的参数，c是常数项， 是误差项，E（ ）=0，E（ ）= ，E（ ）=0，t=s。为了简化，常省去常数项c。为了保持AR模型的稳定性，对于模型的参数常有些限制条件，如误差项 是均值为0方差为 的白噪声。

(2)滑动平均MA(q)模型

MA模型既滑动平均模型，满足： ，其中 ，i=1，…,q是模型的参数， ，i=1，…,q是误差项。满足以上方程的时间序列｛ ｝是q―阶滑动平均过程，记为MA（q）。

(3)自回归滑动平均ARMA（p，q）模型

ARMA（p，q）模型中包含了p自回归项和q滑动平均项，它是自回归模型（ARMA模型）和滑动平均模型（MA模型）的一般形式，ARMA（p，q）模型可以表示为 = + ，其中 ，…， 是模型的参数， 是常数项， 是误差项。如果q=0，则ARMA模型就简化成AR模型，如果p=0，则ARMA模型就简化成MA模型。

由此可以看出AR（p），MA（q），ARMA（p，q）模型之间存在着深刻的联系。

（二）模型评价

时间序列预测法期限是短期，中期预测。主要适用于经济预测，商业预测，需求预测，库存预测等。时间序列分析预测法是根据市场过去的变化趋势未来的发展，它的前提是假定事物的过去会同样延续到未来。事物的现实是历史发展的结果，而事物的未来又是显示的延伸，事物的过去和未来是有联系的。优点是简单易行，便于掌握，能够充分运用原时间序列的各项数据，计算速度快。采用组合的时间序列或者把时间序列和其他模型组合效果更好。缺点是不能反映事物的内在联系，不能分析两个因素的相关关系。当遇到外界发生较大变化往往会有较大偏差。

二.神经网络（BP）预测模型

(一)原理

BP网络是采用Widrow―Hoff学习算法和非线性可转移函数的多层网络。典型的BP算法采用梯度下降法，也就是Widrow―Hoff算法。现在有许多基本的优化算法，例如变尺度算法和牛顿算法。BP神经网络包括一下单元：①处理单元（神经元），级神经网络的基本组成部分。输入层的处理单元只是将输入值转入相邻的联接权重，隐层和输出层的处理单元将它们的输出值求和并根据转移函数计算输出值。②联接权重。它将神经网络中的处理单元联系起来，其值随各处理单元的联接程度而变化。③层。神经网络一般具有输入层x、隐层y和输入层o。④阈值。其值可为恒值或可变值，它可使网络能更自由地获取所要描述的函数关系。⑤转移函数F。它是将输入的数据转化为输出的处理单元，通常为非线性函数。

（二）模型评价

BP神经网络模型适用于中长期的预测。优点：逼近效果好，计算速度快。不需要建立数学模型，精度高。具有强非线性拟合能力。缺点是无法表达和分析被预测系统的输入和输出间的关系，预测人员无法参与预测过程，收敛速度慢，难以处理海量数据，得到的网络容错能力差，算法不完备。

三.灰色预测模型

灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”，“贫信息”不确定型系统的研究对象。

(一)原理

灰色系统有多种模型。n阶h个变量的灰色模型几座GM（n，h）。预测模型中，最常用的是GM（1，1）模型。GM（1，1）模型的微分方式为

d+a其中t表示时间序号；a，u表示原始数据

灰色模型的基本思路可以概括为以下几点：

（1）建立模型常用数据有以下几种：1.科学实验数据；2.经验数据；3.生产数据；4.决策数据。

（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。

（3）一般非负序列累加生成后，得到准光滑序列。对于满足光滑条件的序列，即可建立GM微分模型。

（4）模型精度可以通过不同的会输生成方式。数据的取舍，序列的调整，修正以及不同级别的残差GM模型补充得到提高。

（5）灰色系统理论采用残差大小检验，关联度检验，后严查检验三种方法检验，判断模型的精度。

（二）模型评价

核心体系是灰色模型，即对原始数据作累加生成得到近似的指数规律再进行建模的模型方法。优点是不需要很多的数据，一般只需要4个数据就够了，能解决历史数据少。序列的完整性及可靠性低的问题。运算简便，易于检验。具有不考虑分布规律和变化趋势的特点。缺点是只适合用与中长期的预测，只适合指数增长的预测，数据波动性大对预测精度有较大影响，预测结果较差。

以上三种预测模型有各自的优缺点，针对数据的特点，有针对性的选择合适的预测模型。有时也可以结合模型的优点进行组合应用。

参考文献

[1]陈蓉 话务量分析和多种预测模型的比较研究

[2]朱峰 浅谈数学建模中预测方法 --- 高校讲坛

数学模型篇3

1.提供现实背景，培养数学眼光

在小学数学课程中，许多内容都可以在学生的生活实际中找到背景，而这些背景是数学模型的现实基础。把这些背景引入到数学课堂中来，成为学生数学思考的素材，有利于学生对数学与生活、自然等关系的认识，体会数学不是枯燥的、无用的，感受数学在解决日常生活中发挥的独特作用，为学生主动从数学的角度去分析现实问题、解决现实问题提供示范。

特级教师王凌老师在执教《小数的认识》一课时，首先以复习分数的意义铺垫，为后面学生理解小数的意义打下了坚实的基础。随即让学生回忆生活中哪里见过小数，并出示用小数表示的商品的价格让学生齐读，学生初识小数的同时也感受到了小数在生活中应用之广泛。随后出示公园售票的生活情境，身高达到1.2米的儿童要买票，小明身高1米5厘米要买票吗 为什么 以学生已有的认知，几乎全都回答要。然而片刻思考后，少数学生隐约地产生了疑问。学生欲言又止的神态让王老师适时地插入一个问题：要不要买票到底要把什么搞清楚 当学生回答1.2米中的2后，这堂课精彩的序幕也随之拉开。

上面的生活情境，以丰富学生的认知为背景，凸显生活中的数学因素，引导学生用数学的眼光分析熟知的现象，从而培养学生的数学素养。

2.经历建模过程，学会数学思考

课堂是多种教学要素汇集的焦点，更是数学模型建构的平台。数学教学的一个重要目标即是唤起那些蕴含在经验中的非正规的数学知识，沿着现实生活到情景问题，由情景中蕴含的数学问题到抽象的认识转化过程，实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡。即引导学生经历知识的生长过程，建构数学模型。由于能让学生真正体验到现实问题是如何用数学的方法解决的，体现了解决实际问题的真实全面的过程，所以它在培养学生数学素养方面的作用是十分明显的。

如教学“公因数”。可联系日常生活中建筑师铺地砖的例子，告诉学生“高明的建筑师在作业前总是先计划好方砖的块数，再选材”。然后呈现一个模拟的实际问题，分别用边长6厘米和4厘米的正方形纸片铺长18厘米，宽12厘米的长方形，哪种纸片能将长方形铺满 面对这样的问题，学生可能动笔画一画，通过具体操作找到问题的答案，也可能对照图形通过计算做出判断。这个过程对于学生来说是至关重要的，它是学生尝试建模的过程。但仅仅靠这个过程是不够的，学生还未形成对解决问题一般方法的认识，需要进一步感知、抽象。于是老师呈现第二个问题：还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形 这个问题具有一定的开放性和探索性，把学生的关注点引向了探索解决问题的一般规律上，从特殊到一般，学生在尝试、验证、交流的过程中，逐步体会到：要铺满这个长方形，正方形的边长既要是18的因数，又要是12的因数。至此，学生对公因数的内涵进行了具体的阐释。

学生的发现完全是建立在已有知识基础上的，是将实际问题进行数学化的结果。此时，教师只要告诉学生这些数就是“公因数”就行了。过去的教材是通过列举直接揭示公因数的概念，是从数学到数学。而新教材根植于生活，体现学生的探索，让学生学会自主建模，这一过程同样也会成为学生今后解决问题的经验。对培养学生的数学素养大有好处。

三、实践运用数学，发现数模价值

人的认识过程是“感性——理性——感性——理性”循环往复和不断递进、螺旋上升的过程，课堂上教师组织学生从具体的问题中经历抽象提炼，初步构建起相应的数学模型，并不是学生认识活动的终结，还要组织学生把抽象的数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实中，使已经构建的数学模型在抽象向具体回归的过程中不断得以扩充、提升、生根。

如教学《长方体表面积计算》，利用网页将它设计成一节实践活动课：让学生做一回小小设计师。告诉他们：老师的新房分为卧室、客厅、书房、厨房、洗手间5个部分。请你们帮助老师计算出每个房间需要装修的面积总和，再出谋划策，设计出装修方案。学生听说是帮助设计装修方案，都来了劲头。老师又通过现代化手段创设出模拟的真实的情景，深深吸引学生，不用老师多讲，学生对新知充满探索的欲望。

多种途径、形式的数学实践活动，引导学生利用已有的数学经验，大胆提出猜想，多方解决问题，促使学生主动应用、验证数学知识，不断形成、积累、拓展新的数学生活经验，促进学生应用能力的提高，使学生初步的潜在的数学素养得以历练，进而获得有效提升。

四、感悟数学思想，积累学习经验。

数学知识的形成过程中往往蕴含着一定的数学思想，不管是数学概念的建立、数学规律的发现、数学问题的解决，核心问题都在于数学思想方法的运用，它是数学模型的灵魂，在数学活动中要让学生有所感悟。

数学模型篇4

关键词 数学模型；数学问题；数学教学；引导学生

“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”――《数学课程标准》。这实际上明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型，要把学习数学知识的过程当作建立数学模型的过程，并在建模过程中培养学生的数学应用意识，引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。

对小学数学而言，建立“数学模型”的过程，实际上就是学生通过学习将现实问题、生活经验“数学化”的过程，是学生在数学学习中建立某种“模型”意义的数学结构的过程。教师在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。

首先，为了培养学生正确的建模意识，数学教师应提高自己的建模意识。这意味着教师在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。数学教师需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把数学模型应用于现实生活。

眼界决定境界，数学教师的“模型”眼光和“模型”意识，往往决定着其教学的深刻性和数学课堂的品质，也深刻影响所教学对象的模型意识。

其次，教学中要有意识引导学生通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，并纳入到数学知识系统中。要让学生运用数学建模解决实际问题，首先要把实际问题抽象为数学问题。这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力，这些能力的获得不是一朝一夕的事情，需要教师把数学建模意识贯穿在教学的始终。教学中，选择切合学生生活经验的事例，进行“数学建模”，更有利于帮助学生掌握知识，提高数学问题的分析能力。如果教师不断地引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，就能从纷繁复杂的具体问题中抽象出学生熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。

比如教学“减法”的片段。

出示情境图。

师：观察第一幅图，你看到了什么？

生：5个小朋友在浇花。

师：第二幅图呢？

生：有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。

师：能把两幅图的意思连起来说吗？

生：5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。

师：同学们观察得很仔细，也说得很好。能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？

生：5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？

师：能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？

（教师在行间指导学生摆圆片，并请一个学生将圆片摆在情境图的下面）

师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐：5-2=3）来表示（在圆片下板书：5-2=3）。

生齐读：5减2等于3。

师：谁来说一说这里的5表示什么？2，3又表示什么呢？

师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。

生1：5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。

生2：5只小鸟，飞走2只，还剩3只。

可以明显看出，教师不是简单、生硬地进行教学，在师生对话中训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力，向学生渗透了初步的数学建模思想。这和低年级学生数学学习的特点相符：由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。

再次，给学生机会创设学以致用的机会，鼓励学生将数学模型应用于实际的问题解决。

在学生建立数学模型之后，要进行拓展应用，从而让学生将数学应用意识贯穿到整个日常生活中去，从多维度、全方位地感知某类事物的特征或数量间的相依关系，这有利于学生更多地关注生活中的数学问题，为数学模型的准确构建提供可能。

以“鸡兔同笼”为例。在学生初步能用不同的假设思路解答“鸡兔同笼”的题目后，教师提问：“生活中，你见过把‘鸡’和‘兔’放在一个笼子，再去数头数脚吗？研究‘鸡兔同笼’有什么用呢？”在学生对所提问题一时困惑皱眉时，教师提议带着这个问题继续进行“人马问题”、“汽车和自行车的轮子问题”等等的研究，经过研究和比对，学生发现“鸡兔同笼”不只代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看作是“鸡兔同笼”问题，如“信封里放着5元和2元的钞票，共8张，总计34元，信封里5元和2元的钞票各有多少张？”经过比较和猜想，学生的认识再次提升：“2元的钞票相当于有2只脚的鸡，而5元的钞票相当于5只脚的怪兔。”接下来可以让学生联系生活，将一些实际问题编成“怪鸡、怪兔”同笼的数学问题，最后总结时，教师顺势强化：从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的，同样，如果我们在学习数学时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。

总之，数学教学应该尽可能让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”――“数学模型”，用数学自身的魅力来吸引学生。要让学生对数学知识产生好奇心，深切体验“数学模型”在数学学习中，日常生活中的运用，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。

参考文献：

[1]教育部.课程基本理念[I].数学课程标准.2011年版.

[2]谢广先.小学数学模型教学之我见[J].山东教育，2011，28.

数学模型篇5

[关键词] 基本图形;模型;应用

近年来，各地的中考试卷越来越重视对图形知识综合应用的能力，尤其是当几何图形与函数图象结合在一起时，学生往往会因为图形过于复杂而产生畏惧心理. 如何消除学生的图形恐惧症，如何让学生在中考中见图就喜，是我这些年一直在思考和努力解决的问题. 经过近三年的题海淘金，我总结了一些小小的经验，我们称之为“初中数学模型解题法”.

什么是模型解题法呢？首先，这不同于数学建模，因为数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式方法表达出来，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法和计算机技术进行求解. 但模型解题是指利用几个直观、简洁的纯数学图形，记住其中的结论，并在复杂图形中抽取出模型，从而快速理出解题思路的一种解题方法.

那如何建立模型呢？其实是数学教师在作业和习题的原型中，找到经常会碰到的相同的图形，将其摘录下来，整理归纳，用自己的数学语言把图形和结论展现给学生，像数学定理一样让学生熟记结论，即见图就能现思路. 所以说，模型解题法最大的好处是快速得到解题思路，化繁为简，但其也有局限性，在填空、选择的题型中可以直接使用，但解答题中还需稍加证明. 以下是部分模型的呈现，拿来与大家一起探讨.

模型一：角平分线夹角模型

模型展示？摇 （1）如图1所示，OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，则∠AOC=90°+∠B.

（2）如图2所示，BP，CP分别是∠ABC，∠ACD的平分线，则∠P=∠A.

（3）如图3所示， AD，CD分别是∠EAC，∠FCA的平分线，则∠D=90°-∠B.

应用及分析 （1）如图4所示，在ABC中，∠B=60°，∠BAC和∠BCA的平分线AE，CF交于点O，求证：OE=OF.

（2）如图5所示，ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=____.

分析？摇 （1）若OF，OE能放到两个全等三角形中，即可得证，所以要构造与AOF，COE全等的三角形. 利用模型可得出∠AOC=90°+∠B=120°，∠AOF=∠COE=60°，若作∠AOC的平分线OD交AC于点D，则可证AOD≌AOF，COD≌COE. 于是可得OF=OD=OE.

（2）利用模型中的图2可知，∠BAC=2∠BPC=80°，而∠CAP是∠BAC的邻角，如果过点P作CD，AC，BA的垂线段，垂足分别为E，F，H，根据角平分线性质可得PE=PF=PH，则PA平分∠CAH，所以∠CAP=（180°-80°）÷2=50°.

模型二：角平分线+平行线等

腰三角形

模型展示？摇 如图6所示，OP是∠MON的平分线，AB∥ON，则OA=AB.

应用及分析？摇 （1）如图7所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，且点E恰好在线段AB上. 若AD=7 cm，BC=8 cm，则AB=_____ cm.

（2）在ABC中，∠ABC≠∠ACB，BO，CO分别是ABC的内角或外角平分线，过点O作EF，使EF∥BC，且点E在直线AB上，点F在直线AC上，你能找出线段EF与BE，CF之间的关系吗？

（3）如图8所示，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连结AE，AF，那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.

分析？摇 （1）由模型可知ADE与BCE都是等腰三角形，所以AE=AD=7 cm，BE=BC=8 cm. 所以AB=15 cm.

（2）利用模型可得图9和图10中，EF=BE+CF;图11中，EF=BE-CF.

（3）因为MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，所以很容易得出COE和COF是等腰三角形，所以OE=OC=OF. 所以当OA也等于这三边时，四边形AECF是矩形.

模型三：函数图象中的三角形

面积模型

在平面直角坐标系中，如果有一个三角形的每一边都不和坐标轴平行，则这个三角形的面积可以用水平宽与铅垂高乘积的一半来求解.

模型展示？摇 如图12所示，过ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高”（h），我们可得出一种计算三角形面积的新方法――SABC=ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

应用及分析？摇 （1）如图13所示，A （4，a），B （-2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=图象的交点，点C是直线AB与y轴的交点，求反比例函数和一次函数的解析式，并求AOB的面积.

（2）如图14所示，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，在直线CB上方的抛物线上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

分析？摇 （1）由题可知，易求出两个函数的解析式，则A，B，C三点的坐标可知. 由模型可得，水平宽=A的横坐标-B的横坐标，铅垂高=OC，所以利用公式可求得面积.

（2）由题可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，设存在这样的点P. 因为点P在抛物线上，所以可设P（m，-m2+2m+3）. 又因为直线BC的解析式为y=-x+3，过点P作y轴的平行线交直线CB于点M，则M（m，-m+3），于是PBC的水平宽=B的横坐标-C的横坐标=3，铅垂高=PM=P的纵坐标-M的纵坐标=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m. 所以S=×3×（-m2+3m）=-m2+m，所以当m=时，存在点P，使PBC的面积最大， 此时P，.

模型四：四点共圆模型

模型展示？摇 如图15和图16所示，∠C，∠D都是直角，AB是公共的斜边，则A，B，C，D四点共圆.

应用及分析？摇 （2011年浙江绍兴中考）抛物线y=-（x-1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C.

（1）如图17所示，求点A的坐标及线段OC的长.

（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连结BQ.

①若含45°角的直角三角板如图18所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式;

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标.

数学模型篇6

一、对数学模型的相关定义进行分析

数学模型指的主要是按照事物的特征以及数量之间存在的关系，通过形式化的数学语言，对数学结构进行概括。更加广义的一个解释是，所有的数学公式、数学方程、数学概念、数学理论等。对数学模型进行建立的整个过程是数学建模，也就是运用数学方面的语言以及方法来对实际的问题进行描述，并进行有效的解决。数学建模的一个相对比较严格的定义是，在世界当中的特定对象，为了特定的目标，按照对象内部的实际规律，在分析问题以及进行建设之后，应该使用恰当的工具，获得数学结构。

二、对数学模型思想应用在中学数学教学的基本原则进行分析

1.再创造的原则。在中学数学的实际教学当中运用数学建模的思想能够在很大程度上为学生提供良好的平台，在此平台当中，学生能够对问题进行学习分析以及有效的解决。因此，数学建模的核心应该是在学生积极主动参与的基础上来实现再创造的相关活动。

2.数学化的原则。在实际的课堂当中，学生应该把实际的问题有效抽象为数学上的问题，即数学化的一个过程。在中学数学的过程中，应该重点关注学生学会思考，领会到数学当中的世界。

3.教学现实性的原则。在实际的中学数学的教学中，应该对学生所具有的特殊性进行充分强调，还应该针对不同的学生开展不同的建模活动，尽可能的为学生提供富含创造力的舞台，保证学生能够对数学进行有效的运用，在中学数学中得到不同的体验。在此过程中，应该保证学生在数学现实前提下，能够尽可能提高学生的数学能力以及实践能力。之后保证学生学不足的感悟，进而激发出学生的刻苦性。

4.严谨性的原则。在中学数学的实际建模过程当中，不应该对建模的复杂以及完美进行刻意的追求，不需要严格要求模型的实际推算过程，学生应该保证数学现实之下的足够严谨。所以，学生在实际的建模过程当中应该严格遵守评价的相关标准。实际上，社会技术的发展和学生的知识有着非常大的差异性，应该对创新以及发现的层次进行充分认识。除此之外，在中学数学的实际建模当中还应该严格遵循其他的原则，具体为：有效结合抽象以及具体；有效结合演绎以及归纳；有效结合实践以及理论以及有效结合论证与探索等。另外，还应该保证手段以及目的的统一，直接以及间接经验的统一等。

三、对建立或化归为方程或不等式模型的实例进行分析

数学模型篇7

1. 构造方程模型

例1 已知[1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]且[1m≠n2]，求[mn4+n2m2]的值.

分析 题设条件具备[x2+x-3=0]的形式，如[1m]，[n2]是此方程的两根，于是可以构造二次方程解决.

解 因为[1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]，且[1m≠n2]，

所以[1m]，[n2]是方程[x2+x-3=0]的两根，

即有[1m+n2=-1]，[1m?n2=-3]，

所以[mn4+n2m2]=[n2m（1m+n2）]=3.

2. 构造函数模型

例2 若[|a|

证明 构造一次函数[f（x）=（b+c）x+bc+1]，

则[f（1）=（b+c）+bc+1][=（1+b）（1+c）>0]，

[f（-1）=-（b+c）+bc+1][=（1-b）（1-c）>0].

由一次函数的线性性质知，

对[-10].

即[（b+c）a+bc+1>0]，故[ab+bc+ca>-1].

3. 构造递推数列模型

例3 设实数[a，b，x，y]满足方程[ax+by=3]，[ax2+by2=7]，[ax3+by3=16]，[ax4+by4]=42，求[ax5+by5]的值.

分析 一般项具有[axn+byn]形式，若令[an=axn+byn]，则易得[an+2，an+1，an]之间的关系，从而得到递推模型.

解 设[an=axn+byn]，

则有[a1]=3，[a2]=7，[a3]=16，[a4]=42.

又[an+2=axn+2+byn+2]

[=（x+y）（axn+1+byn+1）][-xy（axn+byn）]

[=（x+y）an+1-xyan]，

即[an+2=（x+y）an+1-xyan].

故[7（x+y）-3xy=16，][16（x+y）-7xy=42]，

所以[x+y=-14]，[xy=-38].

所以[ax5+by5]=[a5]=[（x+y）a4-xya3]

=[-14×42+38×16]=20.

4. 构造不等式模型

例4 解方程[sin2x+sin2（π3-x）?] [cos2x+cos2（π3-x）] [=34].

分析 左边具有[（a12+a22）（b12+b22）]的形式，因此可以构造柯西不等式解决.

解 [sin2x+sin2（π3-x）cos2x+cos2（π3-x）]

[][sinxcos（π3-x）+sin（π3-x）cosx2]

[=sin2（x+π3-x）=34]，

当且仅当[sinxcos（π3-x）][=sin（π3-x）cosx]时取等号.

故[sin2x=sin（2π3-2x）]，

解得[x=kπ2+π6] [（k∈z）].

5. 构造平面几何模型

例5 求[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°][cos15°]的值.

解析 此题的解法很多. 观察本题的结构，联想到与余弦定理的形式似乎相近，将原式表示为[sin285?+sin280?-2sin85?sin80?cos15?]，结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的[ABC].

其中[A=85°]，[B=80°]，[C=15°]，

由正弦定理知，

[BC=sin85°]，[AC=sin80°]，[AB=sin15°]，

由余弦定理知，

[sin215?=sin285?+sin280?-2sin85?sin80?cos15?，]

[cos25°+cos210°-2cos25°cos10°cos15°]

[=sin215°=1-cos30°2=2-34.]

6. 构造复数模型

例6 已知[a，b]为小于1的正数，求证：

[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2]

[+1-a2+1-b222.]

证明 设[z1=a+bi，z2=1-a+bi，]

[z3=a+1-bi，z4=1-a+1-bi]，

则[z1=a2+b2，z2=1-a2+b2，]

[z3=a2+1-b2，z4=1-a2+1-b2]，

[z1+z2+z3+z4z1+z2+z3+z4]

[=2+2i=22].

所以有[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2]

[+1-a2+1-b222]成立.

7. 构造圆锥曲线模型

例7 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13] [-x4-x2+1]的最大值.

解析 函数变形为

[f（x）=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2]，

其几何意义为[P（x，x2）]到[A（3，2）]与[B（0，1）]的距离之差的最大值.而[P]为抛物线[y=x2]上任意一点可构造如图的抛物线模型求解.利用三角形两边之差小于第三边，即[PA-PBAB]（[P，A，B]三点共线时，取等号），即得[fmax（x）=AB=10].

8. 构造子集模型

例8 设集合[S=1，2，???，99]，非空子集[A]满足条件：对任意的[a∈A]，必有[100-a∈A]，问它们的集合[A]共有多少个？

分析 根据元素性质，分类构造子集，是解决组合中某些计数问题的简捷方法，显得思路清晰.

解 这是一个组合数计算问题. 对题设，构造[S]的如下元素之和一定的子集：[1，99]，[2，98，3，97，???，49，51，50]，依题意，符合条件的集合为这些子集及它们组成的所有并集，故集合[A]共有[C150+C250+C350+???+C5050=250-1].

9. 构造组合模型

数学模型篇8

【关键词】数学的作用；数学模型

数学到底有什么用？很多人，尤其是很多学数学不多的人会有这个疑问.在这里不妨反问一下，要是没有用为什么还会有这么多人学习和研究数学呢？先看一个例子，数论，即关于自然数的理论，在很长一段时间里被一些人看成是没有实际应用价值，只有理论意义的数学，哥德巴赫猜想（每一个大于等于6的偶数总可以表示为两个奇素数的和，即所谓“1+1”）有什么用？素数有无穷多个又有什么用？然而，随着科学技术的发展，数论也开始找到了它的用武之地，成为我们设计密码的工具（见密码学中的RSA公开密钥体制）.在对保密的需求程度越来越高的今天，智慧的人类开始研究如何设置密码，于是自然地产生了“密码学”.

在近代科学发展中，牛顿建立了万有引力定律，麦克斯韦建立了电磁场理论，这些都是数学模型取得成功的典型范例.近百年来，人们通过建立数学模型，在认识世界、改造世界方面取得了更多的成绩.在力学、物理学等领域中，人们建立了空气动力学方程组、黏性流体的NavierStokc方程组、弹性力学方程组等等，在其他领域，通过建立数学模型来研究实际课题的实例也层出不穷，美国经济学家列昂杰夫的投入产出模型、马尔萨斯的人口模型、Logistic模型、兰切斯特关于军备竞赛的模型、天气预报中的正压模式和斜压模式模型等等.总之，模型化方法已成为研究问题的基本方法.下面，我们拟从一个简单的问题出发，展示用模型化的方法来解决实际问题的意义.

（一）问题的提出

一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校.假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿.一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间.但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略.试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度.

（二）模型的建立与分析

1.建模准备

建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小.主要因素：

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度.

2.模型假设及符号说明

（1）把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米.

淋雨总量用C升来记.

（2）降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降水的厚度.在这里可视其为一常量.

（3）风速保持不变.

（4）你以一定的速度v米/秒跑完全程D米.

这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度.而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C，而C=C（v），于是问题便归结为确定速度v，使C（v）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定.

有了确定的建模目的，自然引出与C（v）有关的量的设定与简化假设.一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.

【参考文献】

数学模型篇9

关键词： 数学思想 认知过程 数学模型

教师引导学生通过数学活动，经历学习策略的形成过程，体验解决问题策略的多样化，体验策略的价值，受到数学方法的熏陶，训练学生的数学思维，培养有序地、严密地思考问题的意识，让学生有条理、清晰地阐述解决问题的思路，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，将实际问题抽象成数学模型，理解和掌握数学的思想方法，提高解决数学问题的能力。

一、参与现实情境，经历认知过程

教师要立足教材，根据学生的学情，调动学生已有的经验，创设现实活动情境，引导学生思考数学现象，帮助学生树立问题意识，引发学生的认知冲突，激发学生的探究欲望。让学生借助形象思维，经历数学知识的抽象过程，感悟数学新知的思想，进而主动完成知识体系的自我建构，体验数学知识不断优化的过程，真正实现让学生经历数学模型的产生、形成、发展和应用，促使学生树立数学观念。

例如教学“平行四边形的面积计算公式”时，多媒体屏幕呈现平和县三坪小学校园里一块刚平整好的平行四边形的花圃，提出：“学校准备在花圃里种植花草，请大家计算出这块地的面积，才能合理计划购买苗木的棵数。”这块地的形状是平行四边形，生1：“怎样计算呢？是否能运用学过的长方形面积计算方法？”生2：“长方形与平行四边形是各不相同的两种图形，面积求法也不相同的。”根据学生的质疑，我在大屏幕上出示一张带彩色方格的纸，纸上画着一个长方形和一个平行四边形，提出：“大家数数长方形和平行四边形各占几个方格？”学生汇报时，认为长方形与平行四边形占的方格都是15个，说明它们的面积相等。生3：“能否把平行四边形转变成长方形呢？能否用长方形的面积推导出平行四边形的面积？”我要求学生带着这个问题进行实践检验。学生通过合作剪一剪、拼一拼、数一数等办法，把平行四边形转变成长方形，继而求出平行四边形面积=底×高。最后，学生计算出学校那块平行四边形花圃的面积，提供需要购买多少棵苗木的准确数据。通过现实情境，学生沟通新旧知识的联系，经历数学知识的形成过程，在猜测、归纳、推理中接受数学思想方法的熏陶，丰富数学体验，发展数学思维，建构数学知识模型。

二、以实践操作为载体，有效渗透数学思想

由于渗透数学思想方法是个循环往复、螺旋上升的过程，教师要以较容易理解的简单形式呈现教学内容，设计、组织各种感性的数学活动，引导学生通过观察、猜测、试验等数学实践活动，丰富学生的体验，建立清晰的概念表象，培养学生善于独立思考的习惯，使学生树立有顺序、全面地思考问题的意识，掌握解决数学问题的具体方法，体验解决数学问题多样性的策略，从中受到数学思想方法的熏陶。

例如教学“数学广角――搭配中的学问”时，因为学生动手搭配探究衣服的可能情况，让他们记录下不同的搭配方法。成果展示会上，代表在台上展示摆法，其他学生观察台上代表的操作过程，分析是否有遗漏或重复。让学生思考与探究为什么会出现遗漏或重复的情况，怎样才能做到搭配不重复不遗漏？怎样记录所有的摆法？在操作与探究中，学生体验到搭配应讲究顺序。在整个探究活动中，我进行适时点拨，帮助学生建立表象，让学生探究出两种搭配思路：①固定上装搭配下方；②固定下装搭配上装。体验了有序的操作能将所有的情况一一列举出来，保证计数时不重复、不遗漏，建立有序搭配模型的表象，树立有序思考的意识，获得有序思考的具体方法。建构这些数学模型后，我利用生活中的事例，设计一些搭配生活问题，要求学生操作探究，及时利用课堂生成资源渗透符号化的思想，促进学生对搭配规律进行深层认识。又如教学“找次品”例2时，因学生已掌握例1解决问题的策略，经过找次品，初步感受到解决问题策略的多样性，所以我让学生试验、研讨，寻找最优的解决问题方法，学生把零件分成（4，4，1），（3，3，3），（2，2，2，3），（4，4，1）。在浅显、感性的操作中，学生感悟在分析和研究问题时只有做到全面考虑，才能使问题解决的结论更全面、具体。这种富有感性的呈现方式，让学生通过观察、猜测、试验等方式，感受到解决问题的多样性策略，经历由具体到抽象的思维过程，培养优化策略解决问题的有效性，以及解决问题的能力。

三、深化体验表象，巩固数学模型

数学模型篇10

苏教版数学五年级下册第93―95页。

教材分析：

本课“圆”是学生小学阶段学习的最后一种平面图形，也是学习的唯一一种平面曲线图形。圆被人们认为是一个美观又充满神秘的图形，是一个看似简单，实际上却很奇妙的形状。早在战国时期，我国古代伟大的思想家墨子，就已经为圆下了一个定义：“圆，一中同长也。”用今天的话说就是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆。这是圆与学生之前已经学过的其他平面图形最本质的区别特征。

《圆的认识》一课，在很多公开课场合都能听到，主要围绕圆的特征和画圆来展开。很多课上下来，学生也能顺利认识圆、掌握圆的特征，但对于圆“一中同长”这一本质特征的认识可能还是有欠缺的，如“圆中心的一点叫圆心”“连接圆心到圆上任意一点的线段是半径”“同一个圆里有无数条半径”“这无数条半径都相等”这些概念学生可能能正确记忆，但是不一定清楚这些特征的“来源”。正因为“圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”，所以这一“定点”其实就是圆心，“距离”就是半径的长度，“所有点”就说明有无数条半径，“定长”就说明这无数条半径都相等。

所以本课的关键，是让学生理解圆“一中同长”这一思想。有了这一思想，圆的特征，包括画圆的原理、方法学生就能很轻松地获得，并在此过程中体会到数学的神奇与奥秘，激发数学学习更大的热情。但是，“一中同长”这一思想，对于学生来说比较抽象，认识起来比较困难，能不能从学生的生活经验中找到原型呢？本课的教学设计，就是试图从学生的生活中找到“一中同长”思想的原型并显性化，帮助学生深刻认识、掌握圆的特征和画圆的原理与方法。

教学目标：

1.初步掌握圆的特征，会用圆规画圆。体验数学与日常生活密切相关，能用圆的知识来解释生活中的现象或用生活中的现象来解释圆的特征。

2.通过观察、猜测、操作、交流等活动，培养学生的动手操作能力和抽象、概括、归纳等思维能力。

教学重点：

理解和掌握圆的特征“一中同长”，学会用圆规画圆。

教学过程：

一、创设情境，初步认识特征

1.创设情境

师：六一儿童节快到了，学校举行投球比赛，同学们围成这样的队形向球筐中投球，比谁投中的次数多，你认为这个比赛公平吗？

生：不公平，因为每个人离球筐的距离不相等。

师：那围成正方形的队伍呢？

生：不行。

师：那要围成怎样的队伍，你认为才公平？

生：圆形队伍。

师：是这样吗？

生：不是。

2.认识圆心

师：球筐应该放在什么位置？

生：球筐应该放在圆的中心。

师：那要怎样才能找到这个圆形的中心呢？请大家拿出老师为大家准备的圆片来模拟找出这个圆的中心。

生：汇报交流。

师：大家找出的这个中心就是圆的圆心，通常用字母“O”（板书）表示。请你在自己的圆片上点上圆心，标上字母“O”。

3.认识半径

（1）讨论。

师：球筐应该放在圆心位置，为什么这样比赛就公平了？

生：每位同学离球筐的距离都相等。

师：那也就是说圆上的每一点到圆心的距离都相等，我们也可以说成是：到一个中心距离都相等的所有的点组成了圆形，用我国古代思想家墨子的话说就是：“圆，一中同长也！”

（2）意义。

老师画出一条连接圆心到圆上任意一点的线段，像这样的线段就叫作圆的半径。（板书：半径）半径用字母“r”表示。（板书：r）

谁再来说说什么叫半径？

（3）特征。

请你也在刚才的圆片上画出一条半径，标上字母“r”。这样的半径你还能再画吗？能再画多少条？这无数条半径长度都相等吗？你能结合投球比赛的经验加以说明吗？

4.小结

通过刚才的学习，我们知道了在同一个圆内半径都相等这一道理，所以把球筐放在圆心位置时，比赛就公平了。

评析：以上教学是本课概念形成的关键步骤。圆心、半径这两个新概念都是在“投球比赛”这一实际问题情景中自然流畅地解决的。比赛时，球筐位置就是圆心，同学们到球筐的距离就是半径的长度。为了保证比赛的公平，学生都清楚每个同学到球筐的距离要相等，也就是半径都相等。通过“怎样的投球比赛才公平”这一生活原型，从中抽取出“一中同长”这一圆的本质特征，使学生对圆的认识产生了由生活原型到数学模型的飞跃。这样，本课的教学难点就比较自然、流畅地突破了。

二、对比辨析，进一步认识特征

1.揭示直径

师：（在黑板上的圆中直接画出直径）这条线段是半径吗？

生：不是。

师：对，这条线段不是半径，这是直径。（板书：直径）直径用字母“d”表示。

2.判断直径

请你凭着这条直径给你的信息，判断图中哪一条线段是直径，其他的为什么不是？

3.意义特征

（1）猜测。

根据上面的学习，你能猜一猜什么样的线段叫直径了吗？直径又有些什么特征？它与半径又有什么关系？

（2）验证。

请大家利用手中的圆片量一量、折一折，验证你的猜想。

评析：直径的概念可以说是半径概念的简单衍生，同一直线上的两条半径就组成一条直径，所以在半径概念的基础上，直径的教学可以简单化，开门见山地告诉学生，这条线段不是半径而是直径，重点放在半径与直径的关系上。

4.练习巩固

⑴判断。

①从圆心到圆上任意一点的距离都等于半径的长度。

②直径的两个端点在圆上，那么两个端点在圆上的线段就一定是直径。

③所有的半径都相等，所有的直径都相等。

④半径为3厘米的圆比直径为5厘米的圆要小。

⑤在一个圆里，直径最长。

（2）填表。

三、应用特征，教学画圆方法

1.圆规画圆

师：根据“一中同长”的思想，科学家们设计了一种画圆的工具――圆规，你知道圆规为什么可以画圆吗？

师：请你试着在这张纸上画一个大小合适的圆，并说一说画时要注意什么？

生：画时不能改变针尖一脚的位置（定点――一中），不能改变两脚之间的距离（定长――同长）。

2.其他工具

师：如果没有圆规，你还有其他办法画圆吗？

师：古代的人们在生活劳动中也经常需要画圆，你知道他们是如何在地上画一个半径是5米的圆的吗？

动画演示用“绳子画圆”，并说一说这样画圆的原理。

评析：画圆的原理仍是依据“一中同长”的思想，所以画圆的教学仍然紧扣这一点。先探究为什么用圆规可以画圆，画圆时为什么要注意定点、定长，再思考还有什么其他方法也可以画圆，如用绳子画圆。这样的教学既能与前面的特征教学一脉相承，始终围绕“一中同长”的思想，并且也通过对画圆原理、方法的探究，进一步巩固“一中同长”的思想。

四、联系生活，实践应用特征

1.问题

生活中有许多圆形物体，有些物体做成圆形是为了美，而有些物体却是非圆不可，比如说车轮。车轮能不能做成方形或椭圆形的，为什么呢？

2.讨论

请同学们先相互讨论一下，然后再相互议一议。

3.演示

观看三种车轮的动画演示，结合“一中同长”的思想理解车轮为什么一定要做成圆形。

五、总结揭题

1.揭题

师：这节课我们学习了什么内容？

生：认识了圆。（板书：圆的认识）

2.总结

---

数学模型十篇的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于老师画出一条连接圆心到圆上任意一点的线段、数学模型十篇的信息别忘了在本站进行查找喔。