资本资产定价模型（CAPM）

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本文导读目录：

1、资本资产定价模型（CAPM）

2、什么是资本资产定价模型（CAPM）？

　　本文介绍了组合收益、风险，有效前沿，资本配置线（CAL），资本市场线（CML），系统风险（beta）和非系统风险（alpha），以及证券市场线（SML）的概念和用途。 　　理性投资者面对既定的收益水平，一定会选择风险最小的资产配置。面对既定的风险水平，一定选择收益最大的资产配置。 　　风险大的资产一定会有更高的平均收益，否则将不会有理性投资者配置这种资产。 　　也就是说，收益是风险的单调递增函数。 　　假设一个投资组合P中包含资产A和B。r表示收益，σ表示风险，w表示权重，ρ表示A和B的相关系数。 　　则组合的收益为：1 　　组合的风险为：2 　　当ρ=1时，A和B完全线性相关。P在A和B的直线上。 　　当ρ<1时，由2可知：3 　　这就意味着，当组合内两个资产相关性降低时，获得同等收益需要承担的风险更小。当相关性降到最低，完全负相关，获得同等收益需要承担的风险为0。 　　根据收益/风险单调递增的关系，随着组合内两个资产相关水平降低，承担同等风险获得的收益增加。 　　所以，收益是风险的单调递增凸函数。 　　我们把两个资产所有可能组合中风险最小的称为全局最小方差证券组合，即图中G。 　　由于投资者是理性的，所以他们永远不会选择AG段的组合。因为承担相同的风险，在GB段一定存在收益更高的组合。 　　所以，我们把GB这一段的组合称为有效前沿。 　　通常情况下，投资组合中包括的资产总数超过两种，此时组合收益为：4 　　组合风险为：5 　　所有可能的组合形成一个区域。同样，我们可以找到全局最小方差组合G，则G以上的边沿就是其有效前沿。 　　如果在风险资产的组合中加入无风险资产，会是什么情况呢？ 　　无风险资产F与有效前沿上任意一点组合，都可以得到一条直线。其斜率就是Sharp Ratio：6 　　它的意义是单位风险获得的收益，值越大，越好。 　　在无风险资产与有效前沿的所有组合中，与切点T的Sharpe Ratio最大。这就意味着，无风险资产与切点T的组合，在同等风险水平下，能获得的收益是最大的。我们把T称为最优风险资产组合。 　　这条线被称作资本配置线（CAL）：7 　　CAL成为新的有效前沿。 　　如果允许以无风险利率借贷，那么线段FT延长线上的点就是可行的投资组合，其优于TB段上的点。所以有效前沿就是FT这条射线。 　　如果不允许以无风险利率借贷，线段FT延长线上的点就是不可行的，所以有效前沿就是FT和TB。 　　资本配置线反映的是平均收益E(r)和总风险σ之间的关系。这一点与后面要讲的SML是不同的。 　　而且，资本配置线的用途是决定资金在无风险资产以及各项风险资产之间的配置比例，以便能达到要求的收益和风险水平。 　　假设所有投资者对市场中所有的资产的预期都是相同的，那么，最优风险资产组合就是唯一的，由所有风险资产按照市值占比组成，我们称之为市场组合（Market Portfolio）。 　　这种特殊情况下的CAL，我们称之为资本市场线（CML）。 　　理性投资者会在无风险资产和市场组合之间分配资金。因为有效前沿上只有无风险资产和市场组合。 　　如果把一个系统内所有风险资产按其市值占比组合在一起。这个组合的风险就是系统风险。 　　系统内任意风险资产的总风险中，没有体现在系统风险内的部分就是非系统风险。 　　简单的说，系统风险是在系统内不能被分散化的风险。非系统风险是在系统内可以被分散化的风险。 　　以市场组合作为Benchmark，与系统内的资产A的市场收益做回归分析，得到回归方程：8 　　回归系数β反映了资产A的系统风险水平。市场组合的β=1。如果A的系统风险水平大于1，表示其系统风险水平大于市场组合。如果A的系统风险水平小于1，表示其系统风险水平小于市场组合。 　　α是常数项，与系统收益不相关。 　　假设资本市场是无摩擦的，市场均衡状态下，非系统风险带来的平均收益为0。为什么呢？ 　　假如投资者按照市值比例买入系统内所有风险资产，就可以得到市场组合M。如果非系统风险的均衡收益不为0，必定大于0，所以市场组合的收益就包含两部分，系统风险的收益和非系统风险的收益。 　　但是，市场组合中只有系统风险，非系统风险被完全分散消除了。 　　这就意味着，市场组合收益中出现一部分无风险收益。 　　如果投资风险资产最终能获得无风险收益，证明市场不均衡。出现矛盾。 　　所以，市场均衡状态下，风险资产的非系统风险平均收益一定等于零。 　　如果要对风险资产定价，就需要把非系统风险从总风险中剔除掉，得到其系统风险水平，然后在证券市场线（SML）上找到相应系统风险水平的收益水平。 　　系统内风险资产的所有组合中，市场组合M的Sharp Ratio最大。因为其他组合中都包含非系统风险，并且非系统风险不带来收益。 　　但是，市场组合M的风险是固定的，无法满足不同投资者的风险需求。 　　如何在各种风险水平上都保持最大的Sharpe Ratio呢？ 　　神说，要有无风险资产。 　　无风险资产连接市场组合M的直线就是为所有风险资产定价的罗塞塔石碑。我们称之为证券市场线（SML）。9 　　与CAL和CML横坐标是总风险σ不同，SML横坐标是系统风险β。 　　另外，SML不是回归方程。其中，β是自变量。 　　SML给出了市场均衡状态下，不同系统风险水平对应的合理平均收益，也就是系统风险的价格。 　　所以，SML的作用是给风险资产定价。风险资产与市场组合M进行回归分析，可以得到其系统风险水平β，然后根据β的值在SML上找到对应的收益水平。 　　我们再来回头看一下《阿尔法(alpha)与贝塔(beta)-文华程序化》中的例子。 　　通过回归分析得到β=1.96，即以399001为Benchmark，000776的系统风险水平。 　　然后将β带入SML方程中：10 　　就可以得到000776平均收益的合理值。　　资本资产定价模型（capital asset pricing model/CAPM）由一个夏普（Sharpe）提出的高度理想化的公开模型。它建立于马科维茨（Markowitz）均值-方差模型（mean-variance model），用来对投资组合（portfolio）中资产（asset）的必要收益率（required rate of return）进行分析。在本文中，我们假设有 个风险资产，并用 代表 个资产在固定时间点的的横截面收益率（cross-sectional return）。 　　我们首先对CAPM模型的假设做一个陈述：在一个公开市场中，所有投资者（investor）都可以买卖所有风险资产（risky asset）存在一个无风险资产（risk-free asset），可以在利率 的情况下被无限量借入借出关于未来收益率的概率分布函数（probability density function/PDF） 的信息对所有投资者透明，且所有投资者对信息的推论，尤其是收益率期望（expectation）向量 和收益率协方差（covariance）矩阵 ，持相同观点每个投资者都是风险厌恶（risk-averse）的理性投资者，且每个人都进行相同的投资组合最优化过程不存在交易成本（transaction cost）市场达到均衡（equilibrium） 　　假设3-6使得，存在一个唯一的风险投资组合。如果 是椭圆分布（elliptical distribution），即分布（density）由一阶矩（first order moment）和二阶矩（second order moment）决定，或者投资者在投资组合最优化过程中，使用均值-方差形式的期望效用（utility）最大化，那么唯一的风险投资组合和 成比例。 　　夏普自己认为这些假设是高度理想化而脱离实际的：The initial version of the CAPM, developed over 25 years ago, was extremely parsimonious. It dealt with the central aspects of equilibrium in capital markets and assumed away many important aspects of such markets as they existed at the time. 　　当然，CAPM模型的假设也得到了正面评价，因为对现实的简化常常是提出有用的模型的必要条件。哈佛商学院教授穆林斯（Mullins）曾这样评价CAPM：Although CAPM’s assumptions are obviously unrealistic, such simplification of reality is often necessary to develop useful models. The true test of a model lies not just in the reasonableness of its underlying assumptions but also in the validity and usefulness of the model’s prescription. Tolerance of CAPM’s assumptions, however fanciful, allows the derivation of a concrete, though idealized, model of the manner in which financial markets measure risk and transform it into expected return. 　　这个唯一的、和 成比例的有效基金（efficient fund）叫做市场投资组合（market portfolio），并由 表示。令 为第 个公司的市值（market capitalization），故权益市场（equity market）里的总钱数为 。根据假设3-6，所有的投资者都持有相同的风险投资组合，那么有一群小投资和和一个大投资者是没有区别的。若我们假设只有一个大投资者，那么他或她对于风险资产的总投资额是 ，其中第 个资产的权重（weight）为 ，这样权重向量 和 成比例。我们注意到，如果唯一的有效基金的权重和 成比例，那么风险资产不存在空头头寸（short position）。由于空头头寸需要对应的持有多头头寸（long position）的投资者，这和有效基金的唯一性相悖。夏普这样说：When a riskless asset is available, the only negative holdings in equilibrium will involve borrowing by investors with above-average risk tolerance who wish to finance added investment in a portfolio representing the overall capital market. 　　由于只存在一个风险投资组合，那么所有投资者都持有此风险投资组合和无风险资产的组合。令 为整个投资组合的收益率， 为整个投资组合的标准差， 为市场投资组合的收益率， 为市场投资组合的标准差， 为市场投资组合的权重， 为无风险资产的权重。那么整个投资组合的期望收益率为 　　对上面的等式进行改写，我们就得到资本市场线（capital market line） 　　资本市场线告诉我们，任何有效投资组合的期望超额收益（excess return）为一个常数乘以它的风险，此常数为风险价格（price of risk） 。注意此关系对非有效投资组合，如单个股票，不成立。单个股票的期望收益率和市场投资组合的收益率和无风险收益率的关系由证券市场线（security market line）给出，它被表达为以下定理：定理 2.1 在CAPM模型的假设条件下，第 个资产的期望收益率满足 其中 .证明 构造一个投资组合，其中资产 的权重为 ，市场投资组合的权重为 . 此投资组合的期望收益率为 ，收益率标准差为 . 将这两个关系式想成在 空间中对一条曲线（curve）的参数化（parametrization）.由于 ，资本市场线与此条曲线在 处是相切的（tangent）. 这样，我们有 ，此等式可改写为证券市场线.资本市场线和有效前沿 　　在严格的CAPM假设下，证券市场线不是一个回归（regression）表达式，而是一个先验的（ex ante）、对于投资者预期的、确定成立的限制。 表达式中的方差和协方差都是由假设3得到的先验值。而在实际操作中，我们可以用线性回归模型 　　来估计 的值。夏普也是这样认为的：The value of may be given an interpretation similar to that found in regression analysis utilizing historic data, although in the context of the CAPM it is to be interpreted strictly as an ex ante value based on probabilistic beliefs about future outcomes. 　　给定市场收益率和单个资产收益率，我们可以估计 的值。而给定单个资产收益率和相应的 ，我们也可以反过来估计市场收益率。假设 ，单个股票的残差波动率 ，即 的波动率，以及某一天 是给定的，我们要推断当天的最有可能的市场收益率的值。 　　这里未知参数是 ，关于它的初始信息由先验分布（prior distribution） 表示。令似然函数（likelihood function）为 　　这里 代表多元正态分布（multivariate normal distribution）， 为一个对角矩阵（diagonal matrix）。若我们为了简化假设 ，后验分布（posterior distribution）为 　　如果没有初始信息， ，最大后验（maximum a posteriori/MAP）估计等于最大似然估计（maximum likelihood estimator/MLE）。这样MLE 的估计就变成最小化问题 　　这是一个凸优化（convex optimization）问题，所以计算全局最优值（global optimum）的解可以通过一阶条件（first order condition） 得到，即 　　这是一个 对于 的线性回归的加权最小二乘估计（weighted least squares/WLS estimator），权重为 . 　　CAPM将资产的必要收益率表达为无风险收益率和市场超额收益率的组合，那么我们可以看一看在CAPM模型中的资产定价（asset pricing）是怎样的。假设资产价格（price）为 ，期望回报（expected payoff）为 ，那么预期收益率为 ，即 。这里现值（present value）为贴现回报（discounted payoff），其中 为贴现率（discount rate）。由于 ， 　　由于 ，所以 。将 带入上面的等式之后，我们解得价格为 　　这样我们得到了在CAPM模型中的资产定价，并发现价格为以 为贴现率的、加入调整项的期望回报。若资产和市场是不相关的（uncorrelated），价格就是期望回报的现值 ；如果它们是正相关的，那么价格更低；如果它们是负相关的，那么价格更高。 　　[1] Sharpe, William F (1964). “Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk”. The Journal of Finance 19.3, pp. 425–442. 　　[2] Sharpe, William F (1990). “Capital asset prices with and without negative holdings”. Nobel Lecture, December 7, 1990. 　　[3] Mullins, David W (1982). Does the capital asset pricing model work?. Harvard Business Review.

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